Родился 18 ноября 1920 г. в Москве. Отец - Бесков Иван Григорьевич. Мать - Бескова Анна Михайловна. Супруга - Бескова Валерия Николаевна (1928 г. рожд.), танцевала в ансамбле Центрального Дома культуры железнодорожников, над которым шефствовал Исаак Осипович Дунаевский, затем окончила актерский факультет ГИТИСа, где ее однокашниками были Люсьена Овчинникова, Марк Захаров, Лия Элиава, Юрий Горобец, Владимир Васильев; участвовала в концертах с самостоятельными номерами (одна или с партнерами) и как ведущая программы (вела концерты, например, оркестра имени Осипова). Дочь, Любовь Константиновна (1947 г.рожд.), - преподаватель - переводчик английского языка. Внук - Григорий Федотов (1972 г. рожд.), является одновременно и внуком знаменитого футболиста Григория Федотова. Окончил втуз при ЗИЛе.
Жили Бесковы у заставы Ильича, на шоссе Энтузиастов, в коммунальной квартире без удобств: за водой надо было ходить на улицу к колонке, на зиму заготавливать дрова. Отец - рабочий человек. Мать - строгая, порой суровая женщина контролировала каждый шаг маленького футболиста. Воспитывала, наставляла, требовала, наказывала, прощала. Косте еще не было шести лет, когда дядя впервые повел его на футбол. Мальчуган был потрясен, поражен, захвачен футболом. В тот вечер Бесков, наверное, и стал футболистом.
Летом 1928 года мать подарила Бескову настоящий футбольный мяч. С маминым мячом он почти не расставался. После уроков выходил на один из пустырей, каких было много в районе. В одиночку посылал мячик в стенку, тот возвращался, и Костя старался ударить по нему без остановки или обработки одним касанием. Тот снова возвращался, и он мягко принимал его на внутреннюю сторону стопы - это один вариант остановки мяча. Другой вариант - грудью. Третий - бедром. И еще, и еще... Останавливал отскакивавший от стенки мячик всеми способами, доводя выполнение приемов до автоматизма. После этого занимался отработкой точности передачи: на десять метров, на пять, на пятнадцать, снова на десять. Потом отшлифовывал удар низом. И навесной. И резаный, крутящийся, обманный...